Poincaré and Analytic Number Theory

Un domaine arithmétique où l’unité semble faire absolument défaut, c’est la théorie des nombres premiers ; on n’a trouvé que des lois asymptotiques et l’on n’en doit pas espérer d’autres; mais ces lois sont isolées et l’on n’y peut parvenir que par des chemins différents qui ne semblent pas pouvoir communiquer entre eux. Je crois entrevoir d’où sortira l’unité souhaitée, mais je ne l’entrevois que vaguement ; tout se ramènera sans doute à l’étude d’une famille de fonctions transcendantes qui permettront, par l’étude de leurs points singuliers et l’application de la méthode de Darboux, de calculer asymptotiquement certaines fonctions de très grands nombres. A domain of arithmetic where unity seems completely missing, is the theory of prime numbers; only asymptotic laws have been found, and one can not hope for others; but these laws are isolated and one can only reach them by different paths which do not seem to be able to communicate. I believe I can glimpse where the desired unity will come from, but I see this only vaguely; all will probably be reduced to the study of a family of transcendental functions which will permit, through the study of their singular points and application of Darboux’s method, the asymptotic computation of certain functions of very large numbers.